Sementara fungsi dasar seperti $\sin x$ dan $e^x$ memenuhi persamaan diferensial dasar, banyak fenomena fisika—seperti distribusi panas atau keadaan kuantum—dikuasai oleh persamaan yang tidak memiliki solusi "bentuk tertutup". Slide ini memperkenalkan deret Taylor sebagai jembatan utama, memungkinkan kita merepresentasikan solusi yang tidak diketahui sebagai deret pangkat tak hingga.
Dengan mengasumsikan solusinya adalah analitik pada suatu titik, kita mengubah masalah mencari solusi persamaan diferensial menjadi masalah menentukan urutan koefisien numerik.
1. Dasar Analitik
Fungsi $f$ yang memiliki ekspansi deret Taylor tentang $x = x_0$ dengan jari-jari konvergensi $\rho > 0$ dikatakan analitik pada $x = x_0$. Sifat ini merupakan prasyarat untuk mencari solusi deret pada persamaan diferensial biasa. Jika fungsi koefisien dari ODE kita analitik di $x_0$, maka solusi $y(x)$ dipastikan juga analitik di sana.
2. Representasi Deret Taylor
Deret $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ disebut deret Taylor untuk fungsi $f$ tentang $x = x_0$. Di sini, koefisiennya didefinisikan oleh:
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
Ini menghubungkan perilaku global fungsi dengan turunannya lokal pada satu titik.
3. Konvergensi dan Validitas
Solusi deret pangkat hanya bermakna dalam rentang jari-jari konvergensi. Sebagai contoh, meskipun fungsi eksponensial $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ konvergen untuk semua $x$ ($\rho = \infty$), deret lain yang berasal dari persamaan diferensial mungkin hanya konvergen dalam jarak tertentu dari titik ekspansi $x_0$. Jarak ini biasanya ditentukan oleh singularitas (di mana koefisien persamaan gagal berfungsi) dari persamaan tersebut.
Pertimbangkan persamaan diferensial $y' = y$ dengan kondisi awal $y(0)=1$. Alih-alih menebak solusinya, kita mengasumsikan bentuk deret pangkat:
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
Mendiferensial memberikan $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$. Substitusi ke dalam $y'=y$:
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
Menyesuaikan indeks, kita temukan $(n+1)a_{n+1} = a_n$, yang berarti $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$. Karena $y(0)=1$, maka $a_0=1$. Hasilnya adalah deret Taylor untuk $e^x$.